平面图形的几何性质
一、静矩和形心
静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图所示。
定义式：
量纲为长度的三次方。
平面图形的形心坐标
同理有
或
由上式可知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即
反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。
静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。
如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第i块分图形的面积为Ai，形心坐标为yCi、zCi，则其静矩和形心坐标分别为
例1求如图所示半圆形对y轴和z轴的静矩及形心位置。
解：由对称性
现取如图所示微面积
所以
例2确定如图所示图形的形心位置。
解：将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为
矩形Ⅰ：
矩形Ⅱ：
整个图形形心的坐标为
二、惯性矩、惯性积和惯性半径
轴惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图所示。
量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义
为图形对y轴和对z轴的惯性半径。
组合图形一般可以分解为n个简单图形，组合图形的惯性矩等于几个简单图形对同一轴惯性矩之和。设为某一简单图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为
r表示微面积dA到坐标原点的距离，则定义图形对坐标原点的极惯性矩
显然极惯性矩与轴惯性矩的关系
图形对任意两个互相垂直轴的轴惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。
定义为图形对一对正交轴y、z轴的惯性积
量纲是长度的四次方。可能为正，为负或为零。
对称图形对对称轴的惯性积为零。
例3求如图所示圆形截面的轴惯性矩、惯性积、极惯性矩、惯性半径。
解：如图所示取dA，根据定义
由于轴对称性，则有
对于空心圆截面，外径为D，内径为d，则
例4求如图所示矩形的轴惯性矩，惯性半径。
解：取平行于y轴的狭长矩形，由于
同理
三、平行移轴公式
设已知图形对于yoz坐标轴的惯性矩、惯性积，坐标轴y1o1z1与坐标轴yoz平行，o点在y1oz1坐标中的坐标为（a，b），求图形对于y1o1z1坐标轴的惯性矩、惯性积。
由上图可知
则
即
以上三式称为平行移轴公式，当y、z轴为形心轴时
上面三式简化为
此三式是常用的平行移轴公式，移轴公式的应用，应从形心轴向外平移，所以同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。在使用惯性积移轴公式时应注意a，b的正负号。
例5由两个8号槽钢和两块10×1cm2钢板组成的截面，求形心轴的惯性矩。
解：图形分为四个图形，两个矩形，两个槽形截面，显然整体截面是对称的，对称轴即为形心轴，图形的尺寸如图。
整体图形为对称图形，其对称轴为形心轴，根据平行移轴公式，则该组合截面对yC轴的惯性矩为
组合截面对zC轴的惯性矩为
例6试计算三角形ABC对y轴的惯性矩，底边长为b，高为h。
解：作CD平行AB，AD平行BC，把三角形ABD变成平行四边形，平行四边形ABDE与同等宽度和高度的矩形对y1轴的惯性矩相同，如图（b）所示，平行四边形ABDE对y1轴的惯性矩
则三角形ABD对y1轴的惯性矩为
由平行移轴定理，三角形ABD对形心轴yC惯性矩为
三角形ABD对y轴惯性矩为
四、转轴公式
设已知图形对于yoz坐标轴的惯性矩、惯性积，坐标轴y1oz1与绕坐标原点转过q角，q角逆时针为正，求图形对于y1oz1坐标轴的惯性矩、惯性积。
由上图可知
则
即
称为转轴公式。
由上式，可知
图形对旋转后的坐标轴的轴惯性矩之和不变，等于图形对原点的极惯性矩，
惯性矩、惯性积的大小随转角的变化而变化，下面计算惯性矩及惯性积的极值。
令
则对应的转角为
惯性矩的极值为
此时惯性积为零，对应的坐标轴称为主惯性轴（或主轴），对应的轴惯性矩称为主惯性矩（或主矩）。
过平面上的任意一点，总能找到一对坐标轴，使图形对坐标轴的惯性积为零，即过平面内任意一点至少有一对主惯性轴。
当坐标原点为图形的形心时，过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴（或形心主轴），对应的惯性矩称为形心主惯性矩（或形心主矩）。
对称图形关于对称轴的惯性积为零，且对称轴为形心轴，即对称轴为图形的形心主惯性轴，与对称轴垂直的任一轴都是主惯性轴，与对称轴垂直且过形心的轴也为图形形心主惯性轴。
由转轴公式
可知当图形对某对坐标轴的惯性矩相等且惯性积为零时（），过坐标原点的任意一轴均为主惯性轴。
确定图形形心主惯性矩的步骤：
（1）确定图形的形心位置；
（2）若图形有对称轴，则对称轴为形心主惯性轴，过形心且与对称轴垂直的轴为形心主惯性轴；
（3）过形心建立一对坐标轴（应选一对容易计算惯性矩的坐标轴）；
（4）代入公式计算主轴的方位，及主惯性矩的大小。
例7计算图形的形心主惯性轴方位及形心主惯性矩。
解：图形形心的坐标为
则图形对形心轴的惯性矩为
主轴方位
则方位角为
形心主轴如图所示。
惯性矩的极值（形心主惯性矩）为
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